Questão 5 OBMEP 2006 · 2ª fase · Nível 1: Aritmética e porcentagem

Resolução comentada

Respostas: a) 2 garrafas a mais; b) \(\frac{13}{36}\) de cada copo.

a) Como os três copos são iguais, o conteúdo de uma garrafa equivale a

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{6+4+3}{12}=\frac{13}{12}=1+\frac{1}{12}\ \text{de um copo.}\]

Então 1 garrafa equivale a \(1+\frac{1}{12}\) de copo, 2 garrafas a \(2+\frac{2}{12}=2+\frac{1}{6}\) de copo e 3 garrafas a \(3+\frac{3}{12}=3+\frac{1}{4}\) de copo. Logo, para encher os 3 copos são necessárias no mínimo 3 garrafas (sobrando ainda \(\frac{1}{4}\) de copo na terceira). Portanto, eles tiveram que abrir 2 garrafas a mais.

Outro modo: falta encher \(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{23}{12}\) de copo. Como uma garrafa corresponde a \(\frac{13}{12}\) de copo, faltam \(\frac{23}{12}\div\frac{13}{12}=\frac{23}{13}=1+\frac{10}{13}\) garrafas, ou seja, é preciso abrir mais 2 garrafas.

b) Uma garrafa enche \(\frac{13}{12}\) de um copo. Dividindo esse conteúdo igualmente pelos três copos, cada um terá

\[\frac{13}{12}\div 3=\frac{13}{12}\times\frac{1}{3}=\frac{13}{36}\]

do seu copo cheio de suco.