Questão 4 OBMEP 2007 · 2ª fase · Nível 1: Aritmética e porcentagem

Resolução comentada

Respostas: a) não comem peixe: \(\frac{5}{18}\); não comem verdura: \(\frac{7}{12}\); b) veja a justificativa; c) 42 alunos.

a) O total de alunos é a soma dos que comem peixe com os que não comem peixe. Assim,

\[\frac{\text{não comem peixe}}{\text{total}}=1-\frac{13}{18}=\frac{18-13}{18}=\frac{5}{18}.\]

Do mesmo modo, \(\frac{\text{não comem verdura}}{\text{total}}=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}\).

	peixe	verdura
sim	\(\frac{13}{18}\)	\(\frac{5}{12}\)
não	\(\frac{5}{18}\)	\(\frac{7}{12}\)

b) Somando as frações de quem come peixe e de quem come verdura:

\[\frac{13}{18}+\frac{5}{12}=\frac{26}{36}+\frac{15}{36}=\frac{41}{36}>1.\]

Assim, (comem peixe) + (comem verdura) é maior que o total de alunos, o que só é possível se pelo menos um aluno come peixe e também verdura. (Outro modo: como \(\frac{13}{18}>\frac{7}{12}\), há mais alunos que comem peixe do que alunos que não comem verdura; logo, algum aluno que come peixe também come verdura.)

c) Como todos os que comem verdura também comem peixe,

\[\frac{\text{comem peixe mas não verdura}}{\text{total}}=\frac{13}{18}-\frac{5}{12}=\frac{26}{36}-\frac{15}{36}=\frac{11}{36}.\]

Logo, \(\frac{11}{36}\) do total corresponde a 22 alunos; então \(\frac{1}{36}\) do total corresponde a \(22\div 11=2\) alunos, e o total é \(36\times 2=72\) alunos. O número de alunos que não comem verdura é \(\frac{7}{12}\times 72=42\).