OBMEP 2008 (2ª fase · Nível 1) · questão 1

Questão 1 OBMEP 2008 · 2ª fase · Nível 1: Aritmética e porcentagem

Matemática › Aritmética e porcentagemOlimpíadas

Nesta questão todas as figuras são formadas por triângulos iguais. Veja como Chico Bento marcou \(\frac{2}{3}\) dos triângulos da figura abaixo.

Figura da questão

a) Agora, marque você \(\frac{3}{4}\) dos triângulos da figura abaixo. Quantos triângulos você marcou?

Figura da questão

b) Ajude Chico Bento marcando mais que \(\frac{1}{4}\) e menos que \(\frac{1}{3}\) dos triângulos da figura abaixo. Quantos triângulos você marcou?

Figura da questão

c) Chico Bento marcou \(\frac{7}{12}\) dos triângulos da figura abaixo com a letra C e Doralina, por sua vez, marcou \(\frac{3}{4}\) dos triângulos com a letra D, de modo que todos os triângulos ficaram marcados. O número de triângulos marcados com duas letras corresponde a qual fração do número total de triângulos?

Figura da questão

Figuras redesenhadas com o mesmo número de triângulos das figuras originais da prova (12 no item a, 24 no item b e 36 no item c).

Resolva todos os itens. Respostas sem justificativa não serão consideradas.

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Gabarito: Questão discursiva.

Resolução comentada

Respostas: a) 9 triângulos; b) 7 triângulos; c) \(\frac{1}{3}\) do total.

a) A figura é composta de 12 triângulos iguais. Como \(\frac{3}{4}\times 12=9\), devemos marcar 9 triângulos quaisquer.

b) A figura é composta de 24 triângulos iguais. Como \(\frac{1}{4}\) de 24 é igual a 6 e \(\frac{1}{3}\) de 24 é igual a 8, o número de triângulos a serem marcados é maior que 6 e menor que 8. Logo, devem ser marcados 7 triângulos quaisquer.

c) A figura é composta de 36 triângulos iguais. Chico Bento escreveu C em \(\frac{7}{12}\times 36=21\) triângulos e Doralina escreveu D em \(\frac{3}{4}\times 36=27\) triângulos, totalizando \(21+27=48\) marcas. Como todos os triângulos foram marcados e só existem 36 deles, o número de triângulos marcados com duas letras é \(48-36=12\), que corresponde a \(\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\) dos triângulos.

Outro modo: juntos, eles marcaram \(\frac{7}{12}+\frac{3}{4}=\frac{7}{12}+\frac{9}{12}=\frac{16}{12}=1+\frac{1}{3}\) dos triângulos. Como todos foram marcados, os marcados duas vezes são \(\frac{1}{3}\) do total.

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