ENEM 2017 · questão 136

Questão 136 ENEM 2017: Matemática financeira

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Um empréstimo foi feito à taxa mensal de \(i\%\), usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a \(P\).

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa A.

Resolução comentada

Ideia-chave: quitar a dívida no ato da 6ª parcela é pagar a 6ª parcela inteira mais o valor atual das parcelas 7 e 8, descontadas a juros compostos.

  1. A 6ª parcela vence na data do pagamento: vale \(P\).
  2. A 7ª vence 1 mês depois: valor atual \(\dfrac{P}{1 + \frac{i}{100}}\).
  3. A 8ª vence 2 meses depois: valor atual \(\dfrac{P}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)^2}\).
  4. Somando: \[P\left[1 + \frac{1}{1 + \frac{i}{100}} + \frac{1}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)^2}\right]\]

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: B usa \(1 + \frac{2i}{100}\), que é desconto de juros simples, e não compostos; E desconta também a 6ª parcela, que é paga na data e não sofre desconto.

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