FUVEST 2018 · questão 27

Questão 27 FUVEST 2018: Lógica e conjuntos

Matemática › Lógica e conjuntosVestibulares

Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:

I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática;

II. 16 não obtiveram nota mínima em português;

III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês;

IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;

V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;

VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e

VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.

A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi

  1. A
    44.
  2. B
    46.
  3. C
    47.
  4. D
    48.
  5. E
    49.
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Gabarito: Alternativa E: 49..

Resolução comentada

Ideia-chave: princípio da inclusão-exclusão para os reprovados, depois some os aprovados nas três.

  1. Sejam \(M\), \(P\), \(I\) os conjuntos de quem não obteve nota mínima em matemática, português e inglês.
  2. Dados: \(n(M) = 14\), \(n(P) = 16\), \(n(I) = 12\), \(n(M \cap P) = 5\), \(n(M \cap I) = 3\), \(n(P \cap I) = 7\), \(n(M \cap P \cap I) = 2\).
  3. Candidatos reprovados em pelo menos uma disciplina: \[n(M \cup P \cup I) = 14 + 16 + 12 - 5 - 3 - 7 + 2 = 29.\]
  4. Os demais, 20, foram aprovados nas três. Total de participantes: \[29 + 20 = 49.\]
  5. Um diagrama de Venn confirma: só M: 8; só P: 6; só I: 4; M e P (sem I): 3; M e I (sem P): 1; P e I (sem M): 5; os três: 2. Soma 29.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: 47 aparece quando se esquece de somar de volta a interseção tripla (\(+2\)); somar simplesmente \(14 + 16 + 12 + 20\) dá 62, e outras contas parciais levam a 44, 46 ou 48.

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