FUVEST 2018 · questão 28

Questão 28 FUVEST 2018: Funções (afim e quadrática)

Matemática › Funções (afim e quadrática)Vestibulares

Sejam \(D_f\) e \(D_g\) os maiores subconjuntos de \(\mathbb{R}\) nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais

\[f(x) = \sqrt{\dfrac{x^3 + 2x^2 - 4x - 8}{x-2}}\]

e

\[g(x) = \dfrac{\sqrt{x^3 + 2x^2 - 4x - 8}}{\sqrt{x-2}}\]

Considere, ainda, \(I_f\) e \(I_g\) as imagens de \(f\) e de \(g\), respectivamente.

Nessas condições,

  1. A
    \(D_f = D_g\) e \(I_f = I_g\).
  2. B
    tanto \(D_f\) e \(D_g\) quanto \(I_f\) e \(I_g\) diferem em apenas um ponto.
  3. C
    \(D_f\) e \(D_g\) diferem em apenas um ponto, \(I_f\) e \(I_g\) diferem em mais de um ponto.
  4. D
    \(D_f\) e \(D_g\) diferem em mais de um ponto, \(I_f\) e \(I_g\) diferem em apenas um ponto.
  5. E
    tanto \(D_f\) e \(D_g\) quanto \(I_f\) e \(I_g\) diferem em mais de um ponto.
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Gabarito: Alternativa E: tanto \(D_f\) e \(D_g\) quanto \(I_f\) e \(I_g\) diferem em mais de um ponto..

Resolução comentada

Ideia-chave: fatore o numerador; a diferença entre \(f\) e \(g\) está nas condições de existência das raízes.

  1. Fatoração: \[x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = x^2(x+2) - 4(x+2) = (x+2)^2(x-2).\]
  2. Função \(f\): basta \(x \neq 2\) e radicando \(\geq 0\). Para \(x \neq 2\), o radicando é \((x+2)^2 \geq 0\). Logo \[D_f = \mathbb{R} - \{2\}, \qquad f(x) = |x + 2|.\] A imagem é \(I_f = [0, +\infty)\) (o valor 4, perdido em \(x = 2\), é atingido em \(x = -6\)).
  3. Função \(g\): exige \(x - 2 > 0\), isto é, \(x > 2\) (o numerador é então \(\geq 0\)). Assim \[D_g = (2, +\infty), \qquad g(x) = x + 2,\] e \(I_g = (4, +\infty)\).
  4. Comparando: \(D_f\) e \(D_g\) diferem em infinitos pontos (todo \(x < 2\)); \(I_f\) e \(I_g\) também (todo o intervalo \([0, 4]\)).

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: quem trata \(\sqrt{\tfrac{A}{B}}\) e \(\tfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\) como iguais marca A; quem olha só o ponto \(x = 2\) marca B.

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