Unicamp 2024 · questão 64

Questão 64 Unicamp 2024: Funções (afim e quadrática)

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Considere as funções \(f(x) = 2x + c\) e \(g(x) = 5 - 6x\), com \(c > 0\).

Sejam \(P\) e \(Q\) os pontos de interseção, com o eixo y, dos gráficos de \(y = f(g(x))\) e \(y = g(f(x))\), respectivamente.

Para que a origem seja o ponto médio do segmento \(PQ\), qual deverá ser o valor de \(c\)?

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    3.
  4. D
    4.
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Gabarito: Alternativa C: 3..

Resolução comentada

Ideia-chave: o ponto em que um gráfico corta o eixo y é obtido com \(x = 0\); origem como ponto médio exige ordenadas opostas.

  1. Ponto \(P\) (gráfico de \(f(g(x))\)): \(g(0) = 5\), logo \[f(g(0)) = f(5) = 2 \cdot 5 + c = 10 + c.\] Então \(P = (0,\ 10 + c)\).
  2. Ponto \(Q\) (gráfico de \(g(f(x))\)): \(f(0) = c\), logo \[g(f(0)) = g(c) = 5 - 6c.\] Então \(Q = (0,\ 5 - 6c)\).
  3. A origem é ponto médio de \(PQ\) quando a média das ordenadas é zero: \[\dfrac{(10 + c) + (5 - 6c)}{2} = 0 \Rightarrow 15 - 5c = 0 \Rightarrow c = 3.\]
  4. Conferência: \(P = (0, 13)\) e \(Q = (0, -13)\), simétricos em relação à origem; e \(c = 3 > 0\), como exigido.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: trocar a ordem da composição (calcular \(g(f)\) no lugar de \(f(g)\) só em um dos pontos) ou esquecer o termo \(c\) em \(f(5)\) leva a valores como 1 ou 2.

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