Questão 65 Unicamp 2024: Geometria plana

Resolução comentada

Ideia-chave: use o triângulo retângulo \(BFC\) para achar o lado do losango e depois a lei dos cossenos em \(ABE\).

1. No losango, ângulos opostos são iguais: \(\hat{C} = \hat{A} = 60^\circ\). Seja \(\ell\) o lado.
2. No triângulo retângulo \(BFC\) (reto em \(F\)): \[FC = \ell \cos 60^\circ = \dfrac{\ell}{2}.\]
3. Como \(DC = DF + FC\): \[\ell = 3 + \dfrac{\ell}{2} \Rightarrow \ell = 6.\]
4. Em \(AD\): \(AE = AD - ED = 6 - 2 = 4\).
5. Lei dos cossenos no triângulo \(ABE\), com ângulo de \(60^\circ\) em \(A\): \[BE^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 36 + 16 - 24 = 28.\]
6. Logo \(BE = \sqrt{28}\) (\(= 2\sqrt{7}\)).

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: o erro típico é usar \(120^\circ\) no lugar de \(60^\circ\) na lei dos cossenos, o que dá \(\sqrt{76}\), fora das opções; também é comum supor \(\ell = 5\) (somando \(2 + 3\)), o que leva a outros valores.