Unicamp 2025 · questão 55

Questão 55 Unicamp 2025: Geometria plana

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A figura a seguir mostra um triângulo ABC que contém dois quadrados em seu interior.

Figura da questão

O segmento GH é lado de um dos quadrados e está contido no segmento AB. O segmento EF, contido no segmento AC, é lado do outro quadrado.

Sabendo que AG mede 4 cm e que o lado GH do quadrado menor mede 3 cm, o comprimento do segmento EF é:

  1. A
    \(\dfrac{121}{20}\).
  2. B
    \(\dfrac{111}{20}\).
  3. C
    \(\dfrac{102}{15}\).
  4. D
    \(\dfrac{98}{15}\).
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Gabarito: Alternativa B: \(\dfrac{111}{20}\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: o quadrado menor determina o ângulo \(A\) (triângulo 3-4-5). Com coordenadas, achamos o vértice do quadrado menor que toca \(EK\) e, a partir dele, o lado do quadrado maior.

  1. Os pontos são: \(GD \perp AB\), \(GD = 3\) e \(AG = 4\). Então \(AD = 5\) e: \[\cos A = \frac{4}{5}, \quad \operatorname{sen} A = \frac{3}{5}\]
  2. Coordenadas, com \(A = (0,0)\) e \(AC\) sobre o eixo \(x\). O vetor unitário de \(AB\) é \(\left(\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)\).
    • \(G = 4\left(\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right) = \left(\frac{16}{5}, \frac{12}{5}\right)\);
    • \(D = (5, 0)\);
    • \(H = G + 3\left(\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right) = \left(\frac{28}{5}, \frac{21}{5}\right)\).
  3. O 4º vértice do quadrado menor é: \[H + (D - G) = \left(\frac{37}{5}, \frac{9}{5}\right)\] Esse vértice está sobre o lado vertical que passa por \(E\). Logo, \(AE = \frac{37}{5}\).
  4. O vértice superior esquerdo do quadrado maior está sobre \(AB\), acima de \(E\). Sua altura é: \[AE \cdot \tan A = \frac{37}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{111}{20}\]
  5. Essa altura é o lado do quadrado maior. Portanto: \[EF = \frac{111}{20}\ \text{cm}\]

Resposta: alternativa B.

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