Unicamp 2025 · questão 56

Questão 56 Unicamp 2025: Sequências (PA e PG)

Matemática › Sequências (PA e PG)Vestibulares

Seja \((a_n)_{n\in\mathbb{N}} = (a_1, a_2, a_3, \ldots)\) uma progressão aritmética de razão \(r\) e seja \((s_1, s_2, s_3, \ldots)\) a sequência definida por \(s_n = a_1 + \cdots + a_n\), isto é, o seu \(n\)-ésimo termo é a soma dos \(n\) primeiros termos da sequência \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\).

Sabendo que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência \((s_n)_{n\in\mathbb{N}}\), a razão da progressão aritmética \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) é:

  1. A
    5.
  2. B
    7.
  3. C
    9.
  4. D
    11.
Resolver esta questão no banco
Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa B: 7..

Resolução comentada

Ideia-chave: a diferença entre somas parciais consecutivas é um termo da PA: \(s_{n+1} - s_n = a_{n+1}\).

  1. Sejam \(s_n = 168\), \(s_{n+1} = 220\) e \(s_{n+2} = 279\).
  2. Diferença entre as duas primeiras somas: \[a_{n+1} = s_{n+1} - s_n = 220 - 168 = 52\]
  3. Diferença entre as duas últimas: \[a_{n+2} = s_{n+2} - s_{n+1} = 279 - 220 = 59\]
  4. Dois termos consecutivos da PA diferem pela razão: \[r = a_{n+2} - a_{n+1} = 59 - 52 = 7\]
  5. Conferência: com \(r = 7\), temos \(52 = a_1 + 7n\). Para \(n = 7\), isso dá \(a_1 = 3\). Nesse caso: \[s_7 = \frac{(3 + 45) \cdot 7}{2} = 168\] Bate com o enunciado.

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: o erro típico é tratar 168, 220 e 279 como termos da própria PA e tomar uma das diferenças, 52 ou 59, como razão. A razão é a diferença entre essas diferenças.

Mais questões de Sequências (PA e PG)

Ver todas as questões de Sequências (PA e PG)