FUVEST 2024 · questão 63

Questão 63 FUVEST 2024: Sequências (PA e PG)

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Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica.

Figura da questão

Domínio público. Disponível em https://commons.wikimedia.org/.

A partir de qual etapa da construção o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1?

Note e adote: \(\log_{10} 2 = 0{,}3\)

  1. A
    26
  2. B
    27
  3. C
    28
  4. D
    29
  5. E
    30
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Gabarito: Alternativa C: 28.

Resolução comentada

Ideia-chave: os lados formam uma PG de razão \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Basta resolver a desigualdade com logaritmo.

  1. A hipotenusa de cada triângulo é o lado \(\ell\) do quadrado anterior. Num triângulo retângulo isósceles, cada cateto vale: \[\frac{\ell}{\sqrt{2}}\]
  2. Então, a cada etapa, o lado fica multiplicado por \(2^{-1/2}\). Na etapa \(n\), o lado é: \[\ell_n = 2^{-(n-1)/2}\ \text{cm}\]
  3. A condição pedida é \(2^{-(n-1)/2} < 10^{-4}\). Aplicando \(\log_{10}\): \[-\frac{n-1}{2} \cdot 0{,}3 < -4 \;\Rightarrow\; (n-1) \cdot 0{,}15 > 4\]
  4. Isolando \(n\): \[n - 1 > 26{,}67 \;\Rightarrow\; n - 1 \ge 27 \;\Rightarrow\; n \ge 28\]
  5. Conferência:
    • etapa 27: \(\ell = 2^{-13} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-4}\), ainda maior que \(10^{-4}\);
    • etapa 28: \(\ell = 2^{-13{,}5} < 10^{-4}\).

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: confundir o expoente \(n - 1\) com \(n\) leva a 27 (B). Usar razão \(\frac{1}{2}\) em vez de \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) dá um número de etapas bem menor.

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