ENEM 2023 · questão 176

Questão 176 ENEM 2023: Sequências (PA e PG)

Matemática › Sequências (PA e PG)Vestibulares

Os números figurados pentagonais provavelmente foram introduzidos pelos pitagóricos por volta do século V a.C. As figuras ilustram como obter os seis primeiros deles, sendo os demais obtidos seguindo o mesmo padrão geométrico.

Figura da questão

O oitavo número pentagonal é

  1. A
    59
  2. B
    83
  3. C
    86
  4. D
    89
  5. E
    92
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Gabarito: Alternativa E: 92.

Resolução comentada

Ideia-chave: as diferenças entre números pentagonais consecutivos formam uma PA de razão 3.

  1. Sequência da figura: \(1, 5, 12, 22, 35, 51\).
  2. Diferenças: \(4, 7, 10, 13, 16\), uma PA de razão 3.
  3. Próximas diferenças: \(19\) e \(22\).
  4. Então: \[P_7 = 51 + 19 = 70, \qquad P_8 = 70 + 22 = 92\]
  5. Conferindo pela fórmula dos pentagonais: \[P_n = \frac{n(3n - 1)}{2} \Rightarrow P_8 = \frac{8 \cdot 23}{2} = 92\]

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: quem para no 7º termo obtém 70; 89 (D) vem de repetir a diferença 19 em vez de aumentá-la (\(51 + 19 + 19\)).

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