FUVEST 2024 · questão 85

Questão 85 FUVEST 2024: Sequências (PA e PG)

Matemática › Sequências (PA e PG)Vestibulares

Números figurados são números que expressam o total de pontos em certas configurações geométricas. Um exemplo de números figurados são os triangulares, os quais são números naturais que podem ser representados geometricamente na forma de um triângulo. Os quatro primeiros números triangulares estão ilustrados na figura I. Apesar de o número 1 não representar um triângulo, ele é considerado um número triangular.

Figura da questão

Figura I

Outro exemplo de número figurado é o número oblongo, o qual representa o total de pontos de um quadro retangular em que o número de colunas é uma unidade a mais do que o número de linhas. Os quatro primeiros números oblongos estão ilustrados na figura II. Apesar de o número 2 não representar um quadro retangular, ele é considerado um número oblongo.

Figura da questão

Figura II

A respeito de números triangulares e números oblongos, assinale a alternativa correta.

  1. A
    162 é o 15º número triangular.
  2. B
    O 13º número triangular é primo e o 30º número oblongo é ímpar.
  3. C
    156 não é um número oblongo, nem triangular.
  4. D
    210 é um número triangular e oblongo.
  5. E
    A diferença entre dois números triangulares consecutivos são termos de uma progressão geométrica.
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Gabarito: Alternativa D: 210 é um número triangular e oblongo..

Resolução comentada

Ideia-chave: usar as fórmulas gerais \(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\) (triangulares) e \(O_n = n(n+1)\) (oblongos).

  1. As figuras confirmam as fórmulas:
    • \(T_1, \ldots, T_4 = 1, 3, 6, 10\);
    • \(O_1, \ldots, O_4 = 2, 6, 12, 20\).
  2. A) \(T_{15} = \frac{15 \cdot 16}{2} = 120\), não 162. Falsa.
  3. B) \(T_{13} = \frac{13 \cdot 14}{2} = 91 = 7 \cdot 13\), que não é primo. Além disso, \(O_{30} = 930\) é par. Falsa.
  4. C) \(156 = 12 \cdot 13 = O_{12}\), então 156 é oblongo. Falsa.
  5. D) 210 é das duas formas:
    • triangular: \(T_{20} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210\);
    • oblongo: \(O_{14} = 14 \cdot 15 = 210\). Verdadeira.
  6. E) \(T_{n+1} - T_n = n + 1\). As diferenças \(2, 3, 4, \ldots\) formam uma PA, não uma PG. Falsa.
  7. Observação: \(O_n = n(n+1)\) é sempre par, pois é produto de dois consecutivos. Isso elimina a parte "ímpar" da B de imediato.

Resposta: alternativa D.

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