Unicamp 2024 · questão 57

Questão 57 Unicamp 2024: Funções (afim e quadrática)

Matemática › Funções (afim e quadrática)Vestibulares

Laura é geóloga e está fazendo pesquisa numa caverna cuja entrada tem o formato de uma parábola invertida. Essa entrada, no nível do chão, tem \(2\ \text{m}\) de largura e seu ponto mais alto está a \(2{,}5\ \text{m}\) do chão, conforme figura a seguir.

Figura da questão

Para realizar sua pesquisa, ela precisa entrar na caverna com um equipamento guardado em uma caixa de \(1\ \text{m}\) de largura. Qual é a altura máxima, em metros, que a caixa pode ter para passar pela entrada da caverna?

  1. A
    \(\dfrac{11}{8}\).
  2. B
    \(\dfrac{13}{8}\).
  3. C
    \(\dfrac{15}{8}\).
  4. D
    \(\dfrac{17}{8}\).
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Gabarito: Alternativa C: \(\dfrac{15}{8}\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: coloque a parábola num sistema de eixos com vértice no eixo y e calcule a altura a 0,5 m do centro.

  1. Origem no chão, no meio da entrada. As raízes são \(x = -1\) e \(x = 1\) (largura 2 m) e o vértice é \((0;\ 2{,}5)\): \[y = k(x-1)(x+1) = k(x^2 - 1).\]
  2. Em \(x = 0\): \(-k = 2{,}5 \Rightarrow k = -2{,}5\). Logo \[y = 2{,}5(1 - x^2).\]
  3. A caixa de 1 m de largura, centralizada (posição mais favorável), ocupa de \(x = -0{,}5\) a \(x = 0{,}5\). Sua altura máxima é a altura da parábola nas bordas: \[y(0{,}5) = 2{,}5\,(1 - 0{,}25) = 2{,}5 \cdot 0{,}75 = 1{,}875 = \dfrac{15}{8}\ \text{m}.\]
  4. Qualquer caixa mais alta encostaria no arco em um dos cantos superiores.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: \(\dfrac{17}{8}\) ou \(\dfrac{13}{8}\) aparecem quando se erra o coeficiente da parábola ou se avalia a função em ponto errado (por exemplo, usando 1 m em vez de 0,5 m a partir do centro).

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