Unicamp 2024 · questão 58

Questão 58 Unicamp 2024: Geometria plana

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Joaquim estava brincando com um graveto, quando acertou uma parede e o graveto se partiu em três pedaços, de comprimentos \(a, b, c\), com \(a \leq b \leq c\). Ele recolheu os pedaços e tentou construir um triângulo cujos lados seriam exatamente os pedaços do graveto: não foi possível. Sabendo que o graveto tinha \(50\ \text{cm}\) de comprimento e que \(b = a + 2\), qual é o maior valor possível de \(a\)?

  1. A
    \(9{,}5\ \text{cm}\).
  2. B
    \(10{,}5\ \text{cm}\).
  3. C
    \(11{,}5\ \text{cm}\).
  4. D
    \(12{,}5\ \text{cm}\).
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Gabarito: Alternativa C: \(11{,}5\ \text{cm}\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: não formar triângulo significa violar a desigualdade triangular no maior lado: \(c \geq a + b\).

  1. Comprimento total: \(a + b + c = 50\), com \(b = a + 2\). Então \[c = 50 - a - (a + 2) = 48 - 2a.\]
  2. Como \(a \leq b \leq c\), as desigualdades triangulares \(a + c > b\) e \(b + c > a\) valem automaticamente. A única que pode falhar é \(a + b > c\).
  3. Para não existir triângulo: \[a + b \leq c \Rightarrow a + (a+2) \leq 48 - 2a \Rightarrow 4a \leq 46 \Rightarrow a \leq 11{,}5.\]
  4. Verificação para \(a = 11{,}5\): \(b = 13{,}5\), \(c = 25\), soma 50 e \(a + b = 25 = c\) (triângulo degenerado, não construível). Também vale \(b \leq c\).
  5. Logo o maior valor possível é \(a = 11{,}5\ \text{cm}\).

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: \(12{,}5\) dá \(a + b = 27 > c = 23\), formando triângulo; \(9{,}5\) e \(10{,}5\) são possíveis, mas não máximos.

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