FUVEST 2023 · questão 40

Questão 40 FUVEST 2023: Aritmética e porcentagem

Matemática › Aritmética e porcentagemVestibulares

Dado um número natural \(n \geq 2\), o primorial de \(n\), denotado por \(n\#\), é o produto de todos os números primos menores que ou iguais a n. Por exemplo, \(6\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\).

O menor número da forma \(n\#\) que é maior que 2000 é:

  1. A
    2300
  2. B
    2305
  3. C
    2310
  4. D
    2312
  5. E
    2322
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Gabarito: Alternativa C: 2310.

Resolução comentada

Ideia-chave: o primorial só muda quando \(n\) passa por um primo. Basta multiplicar os primos em ordem até ultrapassar 2000.

  1. Primoriais sucessivos: \[ 2\# = 2,\quad 3\# = 6,\quad 5\# = 30,\quad 7\# = 210. \]
  2. O próximo primo é 11: \[ 11\# = 210\cdot11 = 2310 > 2000. \]
  3. Para \(7 \le n < 11\), o primorial vale 210, e não existe primorial entre 210 e 2310. Logo 2310 é o menor primorial maior que 2000.
  4. Atalho para eliminar alternativas: todo primorial com \(n \ge 5\) é múltiplo de \(2\cdot3\cdot5 = 30\). Entre as alternativas, só 2310 é múltiplo de 30.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: a B (2305) é ímpar e não pode ser produto de primos que incluem o 2; a A (2300) e a E (2322) não são múltiplos de 3 e de 5 ao mesmo tempo.

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