FUVEST 2023 · questão 39

Questão 39 FUVEST 2023: Geometria plana

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Um ladrilhamento é chamado de uniforme se é composto por polígonos regulares que preenchem todo o plano sem sobreposição e, além disso, o padrão é o mesmo em cada vértice. Para classificá-los, utilizamos uma notação dada por uma sequência de números que é definida desta forma:

escolhemos um vértice qualquer e indicamos o número de lados de cada polígono que contém este vértice, seguindo o sentido anti-horário, iniciando com os polígonos de menos lados, conforme os exemplos:

Figura da questão

Figura da questão

A foto mostra o piso de um museu em Sevilha.

Figura da questão

A notação que representa o padrão do ladrilhamento do piso é:

  1. A
    \((3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4)\)
  2. B
    \((3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6)\)
  3. C
    \((3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4)\)
  4. D
    \((3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6)\)
  5. E
    \((3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 4)\)
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Gabarito: Alternativa E: \((3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 4)\).

Resolução comentada

Ideia-chave: escolher um vértice da foto, identificar os polígonos que se encontram nele em sentido anti-horário e conferir que os ângulos somam \(360^\circ\).

  1. Na foto há hexágonos (vermelhos), quadrados (brancos) e triângulos (pretos). Cada hexágono é cercado alternadamente por quadrados e triângulos.
  2. Num vértice típico, encontram-se, na ordem: um triângulo, um quadrado, um hexágono e outro quadrado. O triângulo fica oposto ao hexágono, e os dois quadrados ficam entre eles.
  3. Começando pelo polígono de menos lados e girando no sentido anti-horário: \[ (3\cdot4\cdot6\cdot4). \]
  4. Conferência dos ângulos internos: \[ 60^\circ + 90^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ. \checkmark \]

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: a D \((3\cdot4\cdot4\cdot6)\) tem os mesmos polígonos, mas os dois quadrados ficam juntos, o que não acontece na foto (e esse arranjo nem preenche o plano uniformemente); a B \((3\cdot3\cdot4\cdot6)\) soma \(330^\circ\), o que é impossível.

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