FUVEST 2023 · questão 38

Questão 38 FUVEST 2023: Função exponencial e logaritmo

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Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na escala pitagórica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, às razões \(\dfrac{9}{8}\) e \(\dfrac{256}{243}\). A soma de intervalos corresponde ao produto das razões. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razão entre as frequências é de \(\left(\dfrac{9}{8}\right) \cdot \left(\dfrac{9}{8}\right) = \left(\dfrac{81}{4}\right)\).

Figura da questão

Em um instrumento afinado de acordo com a escala pitagórica, se o intervalo entre uma nota de \(220\ \text{Hz}\) e outra de \(990\ \text{Hz}\) é composto por \(n\) tons e \(m\) semitons, a soma \(m + n\) é igual a:

A
13
B
14
C
15
D
16
E
17

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Gabarito: Alternativa C: 15.

Resolução comentada

Ideia-chave: somar intervalos equivale a multiplicar razões. Fatorando em potências de 2 e de 3, obtemos um sistema para \(n\) e \(m\).

Razão entre as frequências: \[ \frac{990}{220} = \frac{9}{2} = 2^{-1}\cdot3^{2}. \]
Fatorando as razões de tom e de semitom: \[ \frac98 = 2^{-3}\cdot3^{2},\qquad \frac{256}{243} = 2^{8}\cdot3^{-5}. \]
Equação: \[ \left(2^{-3}3^{2}\right)^n\left(2^{8}3^{-5}\right)^m = 2^{-1}3^{2}. \]
Igualando os expoentes: \[ \begin{cases} -3n + 8m = -1 \\ 2n - 5m = 2 \end{cases} \]
Multiplicando a 1ª equação por 2 e a 2ª por 3 e somando: \[ m = 4. \] Então \(2n = 2 + 20\), e \(n = 11\).
Resultado: \[ m + n = 15. \]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: a D (16) costuma vir de tentar contar "teclas" no teclado em vez de resolver o sistema; o exemplo do enunciado traz \(\frac{81}{4}\), um erro de digitação para \(\frac{81}{64}\), que não interfere na conta.

Resolução comentada

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