ENEM 2023 · questão 159

Questão 159 ENEM 2023: Função exponencial e logaritmo

Matemática › Função exponencial e logaritmoVestibulares

Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.

Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?

  1. A
    2
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. D
    12
  5. E
    18
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Gabarito: Alternativa D: 12.

Resolução comentada

Ideia-chave: crescimento exponencial: a população é multiplicada por 10 a cada 3 dias.

  1. O produto X deve ser todo aplicado de uma vez, e 1 litro serve para 200 000 larvas. Com 5 litros: \[5 \cdot 200\,000 = 1\,000\,000 = 10^6 \text{ larvas}\]
  2. População após \(t\) dias, começando com 100 larvas: \[P(t) = 100 \cdot 10^{t/3} = 10^{2 + t/3}\]
  3. Igualando: \[10^{2 + t/3} = 10^6 \Rightarrow 2 + \frac{t}{3} = 6 \Rightarrow t = 12\]
  4. Conferindo: \(100 \to 1\,000\) (3 dias) \(\to 10\,000\) (6) \(\to 100\,000\) (9) \(\to 1\,000\,000\) (12).

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: quem usa só 200 000 larvas (1 litro) não encontra potência de 10 exata; quem conta "4 multiplicações" como 4 dias marca B.

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