ENEM 2023 · questão 160

Questão 160 ENEM 2023: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

• algarismos de 0 a 9;

• 26 letras minúsculas do alfabeto;

• 26 letras maiúsculas do alfabeto;

• 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;

• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;

• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere Figura da questão as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

  1. A
    Tipo I, pois \(p_1 < p_2 < p_3\).
  2. B
    Tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
  3. C
    Tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
  4. D
    Tipo III, pois \(p_3 < p_2 < p_1\)
  5. E
    Tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.
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Gabarito: Alternativa A: Tipo I, pois \(p_1 < p_2 < p_3\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: probabilidade de acertar na primeira tentativa \(= \dfrac{1}{\text{total de senhas}}\); menor probabilidade ↔ maior número de senhas.

  1. Caracteres: 10 algarismos, 52 letras e 6 especiais (total 68).
  2. Tipo I (4 distintos quaisquer): \[N_1 = 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 = 19\,545\,240\]
  3. Tipo II (3 letras distintas, 1 algarismo, 1 especial): \[N_2 = 52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 10 \cdot 6 = 7\,956\,000\]
  4. Tipo III (2 letras, 2 algarismos, 2 especiais, distintos): \[N_3 = 52 \cdot 51 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 5 = 7\,160\,400\]
  5. Como \(N_1 > N_2 > N_3\), temos \(p_1 < p_2 < p_3\). O tipo I é o mais difícil de descobrir.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: E e D supõem que mais caracteres sempre geram mais senhas, ignorando que as restrições por posição reduzem muito as escolhas; B dá a conclusão certa com justificativa errada.

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