Unicamp 2024 · questão 60

Questão 60 Unicamp 2024: Análise combinatória

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Terminado o almoço, Ana foi à cozinha para a escolha das sobremesas. A garota estava decidida a pegar dois itens. Seu pai, preocupado com a alimentação dela, instruiu-a da seguinte forma: "Escolha o que quiser, mas, se você pegar algum pirulito, pegue também alguma fruta". Na cozinha, tinha 5 frutas diferentes, 3 pirulitos diferentes e 2 pedaços de bolos de sabores diferentes. De quantas formas Ana poderia escolher seus dois itens?

  1. A
    34.
  2. B
    36.
  3. C
    45.
  4. D
    47.
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Gabarito: Alternativa B: 36..

Resolução comentada

Ideia-chave: conte todas as duplas e subtraia as proibidas (com pirulito e sem fruta).

  1. Há \(5 + 3 + 2 = 10\) itens distintos. Total de pares sem restrição: \[\binom{10}{2} = 45.\]
  2. Proibidos: pares que contêm algum pirulito e nenhuma fruta. Esses pares são formados só com pirulitos e bolos (5 itens), exigindo pelo menos um pirulito: \[\binom{5}{2} - \binom{2}{2} = 10 - 1 = 9.\] (Em detalhe: 2 pirulitos: \(\binom{3}{2} = 3\); 1 pirulito e 1 bolo: \(3 \cdot 2 = 6\).)
  3. Permitidos: \[45 - 9 = 36.\]
  4. Conferência direta: pirulito + fruta: \(3 \cdot 5 = 15\); sem pirulito: \(\binom{7}{2} = 21\). Total \(15 + 21 = 36\).

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: 45 ignora a regra do pai; 34 e 47 vêm de contar pares ordenados parcialmente ou de subtrair casos a menos/a mais (por exemplo, esquecer o par bolo + pirulito).

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