OBMEP 2012 (2ª fase · Nível 1) · questão 2

Questão 2 OBMEP 2012 · 2ª fase · Nível 1: Aritmética e porcentagem

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A calculadora de Raquel é um pouco diferente. Além das 10 teclas numéricas de 0 a 9, ela só tem três teclas de operações:

  • a tecla Q, que multiplica o número do visor por ele mesmo;
  • a tecla D, que multiplica o número do visor por 2;
  • a tecla C, que divide o número do visor por 5.

Raquel se diverte colocando um número inteiro no visor e produzindo novos números usando apenas as teclas de operações. Por exemplo, começando com o número 20 e usando a sequência de teclas CDQ, Raquel obteve o número 64:

\[20\ \xrightarrow{\ C\ }\ 4\ \xrightarrow{\ D\ }\ 8\ \xrightarrow{\ Q\ }\ 64\]

a) Raquel começou com 15 e obteve 18 apertando três teclas de operações. Qual foi a sequência de teclas que ela usou?

b) Usando a sequência de teclas DCQC, Raquel obteve o número 7,2. Com qual número ela começou?

c) Apresente uma maneira de Raquel obter o número 0,08 em sua calculadora, indicando o número inicial e a sequência de teclas de operações.

Resolva todos os itens. Respostas sem justificativa não serão consideradas.

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Gabarito: Questão discursiva.

Resolução comentada

Respostas: a) CQD; b) 15; c) por exemplo, começar com 2 e usar CC.

a) A (única) sequência de três operações é CQD:

\[15\ \xrightarrow{\ C\ }\ 3\ \xrightarrow{\ Q\ }\ 9\ \xrightarrow{\ D\ }\ 18.\]

Existem outras sequências que produzem 18 a partir de 15, mas com mais de 3 teclas; por exemplo, \(15\xrightarrow{Q}225\xrightarrow{C}45\xrightarrow{C}9\xrightarrow{D}18\).

b) Desfazemos as operações de trás para frente. A última tecla foi C (divide por 5): antes dela, o visor mostrava \(7{,}2\times 5=36\). A penúltima foi Q (eleva ao quadrado): antes, o visor mostrava 6, pois \(6^2=36\). Invertendo novamente C: \(6\times 5=30\). Por fim, invertendo D (dobra): \(30\div 2=15\). Raquel começou com 15.

Verificando: \(15\xrightarrow{D}30\xrightarrow{C}6\xrightarrow{Q}36\xrightarrow{C}7{,}2\).

c) Escrevendo 0,08 na forma de fração:

\[0{,}08=\frac{8}{100}=\frac{2}{25}=\frac{2}{5\times 5}.\]

Ou seja, 0,08 é obtido dividindo 2 por 5 e o resultado novamente por 5. Assim, Raquel pode começar com 2 e apertar a sequência CC: \(2\xrightarrow{C}0{,}4\xrightarrow{C}0{,}08\). Há outras maneiras; por exemplo, \(1\xrightarrow{C}0{,}2\xrightarrow{C}0{,}04\xrightarrow{D}0{,}08\).

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