OBMEP 2012 (2ª fase · Nível 1) · questão 3

Questão 3 OBMEP 2012 · 2ª fase · Nível 1: Aritmética e porcentagem

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Alberto, Beatriz, Carlos, Dulce e Eduardo ainda dormiam quando sua mãe saiu e deixou uma vasilha com jabuticabas e a instrução para que fossem divididas igualmente entre eles. Alberto acordou primeiro, pegou \(\frac{1}{5}\) das jabuticabas e saiu. Beatriz acordou depois, mas pensou que era a primeira a acordar e, por este motivo, pegou \(\frac{1}{5}\) das jabuticabas restantes e também saiu. Os outros três irmãos acordaram juntos, perceberam que Alberto e Beatriz já haviam saído e dividiram as jabuticabas restantes igualmente entre eles.

a) Que fração do total de jabuticabas coube a Beatriz?

b) Quem ficou com a menor quantidade de jabuticabas? Quem ficou com a maior quantidade de jabuticabas?

c) Ao final da divisão, nenhum dos irmãos ficou com mais do que 20 jabuticabas. Quantas jabuticabas havia na vasilha?

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Gabarito: Questão discursiva.

Resolução comentada

Respostas: a) \(\frac{4}{25}\); b) a menor parte ficou com Beatriz; as maiores, com Carlos, Dulce e Eduardo; c) 75 jabuticabas.

a) Alberto pegou \(\frac{1}{5}\) do total, deixando \(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\) para os demais. Beatriz pegou \(\frac{1}{5}\) desses \(\frac{4}{5}\), ou seja,

\[\frac{1}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{25}\ \text{do total.}\]

b) Beatriz deixou na vasilha \(\frac{4}{5}-\frac{4}{25}=\frac{20}{25}-\frac{4}{25}=\frac{16}{25}\) das jabuticabas. Cada um dos três irmãos restantes ficou com

\[\frac{1}{3}\times\frac{16}{25}=\frac{16}{75}\ \text{do total.}\]

Como \(\frac{1}{5}=\frac{15}{75}\) e \(\frac{4}{25}=\frac{12}{75}\), temos \(\frac{12}{75}<\frac{15}{75}<\frac{16}{75}\). Logo, Beatriz ficou com a menor quantidade, e Carlos, Dulce e Eduardo ficaram com a maior quantidade (iguais entre si).

c) Carlos, Dulce e Eduardo ficaram com \(\frac{16}{75}\) das jabuticabas cada um e essa fração é irredutível; então o total de jabuticabas tem de ser múltiplo de 75. Por outro lado, como cada irmão ficou com no máximo 20 jabuticabas e são 5 irmãos, o total é no máximo 100. O único múltiplo de 75 menor ou igual a 100 é o próprio 75. Logo, havia 75 jabuticabas na vasilha: Alberto ficou com \(\frac{1}{5}\times 75=15\), Beatriz com \(\frac{4}{25}\times 75=12\) e Carlos, Dulce e Eduardo com \(\frac{16}{75}\times 75=16\) cada um.

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