Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula: [figura] Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela. Utilize 0,2877 como aproximação para [figura] e 0,0131 como aproximação para (1,0132). A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a

ENEM 2018 · questão 137

Questão 137 ENEM 2018: Matemática financeira

Matemática › Matemática financeiraVestibulares

Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente $P$ submetido a juros compostos com taxa $i$, por um período de tempo $n$, produz um valor futuro $V$ determinado pela fórmula:

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para $\ln$ e 0,0131 como aproximação para $\ln(1{,}0132)$.

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a

A
56ª
B
55ª
C
52ª
D
51ª
E
45ª

Resolver esta questão no banco

Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa C: 52ª.

Resolução comentada

Ideia-chave: antecipar uma parcela $n$ meses equivale a pagar o valor presente $P = \dfrac{820}{1{,}0132^n}$; o desconto passa de 25% quando $P < 0{,}75 \cdot 820$.

Condição do desconto: \[ 820 - P > 0{,}25 \cdot 820 \Rightarrow \frac{820}{1{,}0132^n} < \frac{3}{4} \cdot 820 \]
Simplificando: \[ 1{,}0132^n > \frac{4}{3} \]
Aplicando $\ln$: \[ n \cdot \ln(1{,}0132) > \ln\left(\tfrac{4}{3}\right) \Rightarrow n > \frac{0{,}2877}{0{,}0131} \approx 21{,}96 \]
Logo, $n \geq 22$ meses de antecipação. Junto com a 30ª, a primeira parcela possível é: \[ 30 + 22 = 52 \]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: 51ª (D) arredonda 21,96 para baixo, mas com 21 meses o desconto não chega a 25%; 56ª e 55ª (A e B) satisfazem a condição, mas não são as primeiras.

Resolução comentada

Mais questões de Matemática financeira