ENEM 2018 · questão 138

Questão 138 ENEM 2018: Geometria analítica

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Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: \(A(0;4)\), \(B(4;4)\), \(C(4;0)\), \(D(2;2)\) e \(E(0;2)\).

Figura da questão

Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?

  1. A
    \(x = 0\)
  2. B
    \(y = 0\)
  3. C
    \(x^2 + y^2 = 16\)
  4. D
    \(x^2 + (y-2)^2 = 4\)
  5. E
    \((x-2)^2 + (y-2)^2 = 8\)
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Gabarito: Alternativa E: \((x-2)^2 + (y-2)^2 = 8\).

Resolução comentada

Ideia-chave: teste cada equação substituindo as coordenadas dos pontos; circunferência vale 2 pontos por acerto e reta, 1.

  1. \(x = 0\) (reta): passa por \(A(0;4)\) e \(E(0;2)\), logo 2 acertos e 2 pontos.
  2. \(y = 0\): não passa por \(A\); descartada.
  3. \(x^2 + y^2 = 16\): \(A\): \(0 + 16 = 16\) e \(C\): \(16 + 0 = 16\). São 2 acertos, valendo \(2 \cdot 2 = 4\) pontos.
  4. \(x^2 + (y-2)^2 = 4\): \(A\): \(0 + 4 = 4\) e \(D\): \(4 + 0 = 4\). \(E\) dá 0, \(B\) e \(C\) dão 20. São 4 pontos.
  5. \((x-2)^2 + (y-2)^2 = 8\): \(A\), \(B\) e \(C\) dão \(4 + 4 = 8\); \(D\) dá 0 e \(E\) dá 4. São 3 acertos, valendo \(3 \cdot 2 = 6\) pontos.
  6. A maior pontuação é 6.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: a reta \(x = 0\) atinge dois pontos, mas cada um vale só 1; as circunferências de C e D atingem apenas dois pontos cada.

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