FUVEST 2023 · questão 89

Questão 89 FUVEST 2023: Geometria analítica

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Considere a região do plano cartesiano \(A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x| + |y| \leq 1\}\) esboçada na figura.

Figura da questão

Dado \(B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x + 1)^2 + y^2 \geq 1\}\), a área da região \(A \cap B\) é:

  1. A
    \(2 - \dfrac{\pi}{4}\)
  2. B
    \(2 - \dfrac{\pi}{2}\)
  3. C
    \(4 + \dfrac{\pi}{2}\)
  4. D
    \(4 - \dfrac{\pi}{4}\)
  5. E
    \(2 + \dfrac{\pi}{2}\)
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Gabarito: Alternativa A: \(2 - \dfrac{\pi}{4}\).

Resolução comentada

Ideia-chave: \(B\) é o exterior do círculo de centro \((-1,0)\) e raio 1. Então \(A \cap B\) é o quadrado \(A\) menos a parte desse disco que fica dentro de \(A\).

  1. A região \(A\) é um quadrado de diagonais 2 e 2: \[\text{Área}(A) = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2\]
  2. O disco tem centro no vértice \((-1,0)\) do quadrado.
  3. Nesse vértice, os lados do quadrado são as retas \(y = x + 1\) e \(y = -x - 1\). Elas são perpendiculares, então o ângulo interno é \(90^\circ\).
  4. O lado do quadrado mede \(\sqrt{2}\), que é maior que o raio 1. Por isso, a parte do disco dentro de \(A\) é exatamente um quarto de círculo de raio 1: \[\frac{\pi \cdot 1^2}{4} = \frac{\pi}{4}\]
  5. Portanto: \[\text{Área}(A \cap B) = 2 - \frac{\pi}{4}\]

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: quem acha que o disco ocupa meio círculo dentro de \(A\) obtém \(2 - \frac{\pi}{2}\). Quem toma a área do quadrado como 4 (lado 2) cai nas alternativas C e D.

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