Questão 139 ENEM 2018: Geometria plana

Resolução comentada

Ideia-chave: um arco de ângulo \(\theta\) mede \(\theta r\) e fica mais curto perto do centro; então vale a pena ir pela semirreta até o menor raio permitido, contornar e sair de novo.

1. Pela figura, \(B\) está no raio 4 e na semirreta de \(30^\circ\); \(A\) está no raio 6 e na semirreta de \(150^\circ\). Entre elas há \(120^\circ = \tfrac{2\pi}{3}\) rad.
2. Indo pela semirreta até a circunferência de raio \(r\) (\(1 \leq r \leq 4\)), contornando e subindo até o raio 6: \[ d(r) = (4 - r) + \frac{2\pi}{3} r + (6 - r) = 10 + r\left(\frac{2\pi}{3} - 2\right) \]
3. Como \(\tfrac{2\pi}{3} \approx 2{,}09 > 2\), \(d\) cresce com \(r\): o melhor é o menor raio, \(r = 1\), já que não se pode passar pela origem.
4. Distância mínima: \[ d = \frac{2 \cdot \pi \cdot 1}{3} + 8 \approx 10{,}09 \]

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: D (\(\tfrac{8\pi}{3} + 2 \approx 10{,}38\)) contorna direto pelo raio 4; B e C (raios 2 e 3) também saem mais longos.