FUVEST 2020 · questão 19

Questão 19 FUVEST 2020: Aritmética e porcentagem

Matemática › Aritmética e porcentagemVestibulares

A função \(E\) de Euler determina, para cada número natural \(n\), a quantidade de números naturais menores do que \(n\) cujo máximo divisor comum com \(n\) é igual a 1. Por exemplo, \(E(6) = 2\) pois os números menores do que 6 com tal propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de \(E(n)\), para \(n\) de 20 a 25?

  1. A
    19
  2. B
    20
  3. C
    22
  4. D
    24
  5. E
    25
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Gabarito: Alternativa C: 22.

Resolução comentada

Ideia-chave: \(E(n)\) é a função \(\varphi\) de Euler. Para \(n\) primo vale \(E(n) = n - 1\), o maior valor possível.

  1. Para \(n = p\) primo, todos os números de \(1\) a \(p - 1\) são primos com \(p\), então \(E(p) = p - 1\).
  2. Entre 20 e 25, o único primo é 23, e \[ E(23) = 22. \]
  3. Conferindo os outros valores com \(\varphi(n) = n\prod\left(1 - \frac{1}{p}\right)\):
    • \(E(20) = 20\cdot\frac12\cdot\frac45 = 8\)
    • \(E(21) = 21\cdot\frac23\cdot\frac67 = 12\)
    • \(E(22) = 22\cdot\frac12\cdot\frac{10}{11} = 10\)
    • \(E(24) = 24\cdot\frac12\cdot\frac23 = 8\)
    • \(E(25) = 25\cdot\frac45 = 20\)
  4. O máximo é \(22\), em \(n = 23\).

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: a B (20) é \(E(25)\), que perde os múltiplos de 5; a D e a E (24 e 25) são impossíveis, porque \(E(n) \le n - 1\) sempre.

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