Questão 20 FUVEST 2020: Polinômios e números complexos

Resolução comentada

Ideia-chave: desenvolver os cubos e igualar os coeficientes de polinômios idênticos.

1. Expandindo: \[ (x-a)^3 - (x-b)^3 = 3(b-a)x^2 + 3(a^2 - b^2)x + (b^3 - a^3). \]
2. Comparando com \(3x^2 - 9x + 7\):
   • \(x^2\): \(3(b - a) = 3 \Rightarrow b - a = 1\).
   • \(x\): \(3(a^2 - b^2) = -9 \Rightarrow (a-b)(a+b) = -3\).
3. Como \(a - b = -1\): \[ -(a + b) = -3 \Rightarrow a + b = 3. \]
4. Conferência pelo termo independente: com \(a + b = 3\) e \(b - a = 1\), temos \(a = 1\) e \(b = 2\), e \[ b^3 - a^3 = 8 - 1 = 7. \checkmark \]

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: a D (9) aparece quando se esquece de dividir por 3 o coeficiente de \(x\); a B (5) vem de somar \(a\) e \(b\) obtidos com sinal trocado.