Unicamp 2022 · questão 18

Questão 18 Unicamp 2022: Aritmética e porcentagem

Matemática › Aritmética e porcentagemVestibulares

USE O TEXTO A SEGUIR PARA RESPONDER À QUESTÃO.

Para conter uma certa epidemia viral, uma vacina será aplicada a uma população. Sabe-se que:

• a efetividade de uma vacina pode ser entendida como sendo a porcentagem dos indivíduos vacinados que estarão imunes à doença; e

• para controlar a epidemia, a porcentagem mínima de uma dada população a ser imunizada é dada pela fórmula \(I(R_0) = \dfrac{100(R_0 - 1)}{R_0}\), em que \(R_0 > 1\) é um valor associado às características da epidemia.

Assume-se, ainda, que uma eventual imunização somente é adquirida por meio da vacina.

Assuma que \(R_0 = 2\)

Sabendo que uma dada vacina tem 80% de efetividade, em qual dos intervalos se encontra a porcentagem minima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia?

  1. A
    Entre 46% e 55%.
  2. B
    Entre 56% e 65%.
  3. C
    Entre 66% e 75%.
  4. D
    Entre 76% e 85%.
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Gabarito: Alternativa B: Entre 56% e 65%..

Resolução comentada

Ideia-chave: a porcentagem de imunes é a porcentagem de vacinados vezes a efetividade.

  1. Com \(R_0 = 2\), a porcentagem mínima de imunizados é \[I(2) = \frac{100(2-1)}{2} = 50\%.\]
  2. Se \(v\) é a fração da população vacinada e a efetividade é 80%, a fração de imunes é \(0{,}8\,v\). Precisamos de \[0{,}8\,v = 0{,}5 \Rightarrow v = \frac{0{,}5}{0{,}8} = 0{,}625 = 62{,}5\%.\]
  3. Portanto é preciso vacinar pelo menos 62,5% da população, valor entre 56% e 65%.

Por que não as outras: quem esquece a efetividade e fica com 50% marca A; quem multiplica em vez de dividir (\(0{,}8\cdot 50\% = 40\%\)) não encontra opção; quem soma 20% aos 50% chega a 70% (alternativa C).

Resposta: alternativa B.

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