Unicamp 2022 · questão 19

Questão 19 Unicamp 2022: Geometria plana

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Um círculo está inscrito em um quadrilátero \(ABCD\). Seja \(T\) o ponto de tangência do lado \(DA\) com o círculo. Sabe-se que as medidas dos lados \(AB\), \(BC\) e \(CD\) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente de números inteiros e que a medida do lado \(DA\) é \(3\). Considerando que a medida do segmento \(TA\) é um número inteiro, as medidas dos lados \(AB\), \(BC\) e \(CD\) são, respectivamente:

  1. A
    \(1, 3, 5\).
  2. B
    \(2, 3, 4\).
  3. C
    \(2, 4, 6\).
  4. D
    \(3, 4, 5\).
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Gabarito: Alternativa B: \(2, 3, 4\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: em um quadrilátero circunscrito, as somas dos lados opostos são iguais (teorema de Pitot) e os segmentos tangentes a partir de um vértice são iguais.

  1. PA crescente: \(AB = b - r\), \(BC = b\), \(CD = b + r\), com \(r > 0\). Pitot: \[AB + CD = BC + DA \Rightarrow 2b = b + 3 \Rightarrow b = 3.\] Logo \(BC = 3\) e as opções possíveis são \((1,3,5)\) e \((2,3,4)\).
  2. Sejam \(x, y, z, w\) os segmentos tangentes a partir de \(A, B, C, D\). Então \(AB = x + y\), \(DA = w + x = 3\) e \(TA = x\).
  3. \(x\) é inteiro positivo e \(w > 0\), então \(x \in \{1, 2\}\). Como \(y > 0\), temos \(AB = x + y > x \ge 1\); assim \(AB = 1\) é impossível.
  4. Resta \(AB = 2\), \(BC = 3\), \(CD = 4\). Exemplo: \(x = 1\), \(y = 1\), \(z = 2\), \(w = 2\): \(AB=2\), \(BC=3\), \(CD=4\), \(DA=3\). Confere.

Por que não as outras: C e D não satisfazem Pitot (\(2+6 \ne 4+3\) e \(3+5 \ne 4+3\)); a A satisfaz Pitot, mas exigiria \(TA < 1\), não inteiro.

Resposta: alternativa B.

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