Unicamp 2022 · questão 20

Questão 20 Unicamp 2022: Matrizes, determinantes e sistemas

Considere a matriz

\[A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 3 & k^2 \end{pmatrix}\]

e seja \(B = A + A^T\), onde \(A^T\) é a transposta da matriz \(A\).

Sobre o sistema

\[B\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2021 \\ 2022 \end{pmatrix}\]

é correto afirmar que

Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa C: se \(k = -1\), o sistema não tem solução..

Resolução comentada

Ideia-chave: montar \(B = A + A^T\), estudar o determinante e, quando ele zera, verificar a compatibilidade.

\(A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ k & k^2 \end{pmatrix}\), então \[B = \begin{pmatrix} 2 & k+3 \\ k+3 & 2k^2 \end{pmatrix},\qquad \det B = 4k^2 - (k+3)^2.\]
\(k = 0\): \(\det B = -9 \ne 0\), solução única. A é falsa.
\(k = -1\): \(B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\). O sistema fica \[2x + 2y = 2021,\qquad 2x + 2y = 2022,\] contraditório: não tem solução. C é verdadeira (e B, falsa).
\(k = 3\): \(\det B = 36 - 36 = 0\) e \(B = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 18 \end{pmatrix}\). A segunda linha é o triplo da primeira, mas \(3\cdot 2021 = 6063 \ne 2022\): impossível. D é falsa.

Por que não as outras: a B e a D atraem quem conclui "determinante nulo, então infinitas soluções" sem comparar os termos independentes.

Resposta: alternativa C.