Unicamp 2022 · questão 17

Questão 17 Unicamp 2022: Funções (afim e quadrática)

Matemática › Funções (afim e quadrática)Vestibulares

USE O TEXTO A SEGUIR PARA RESPONDER À QUESTÃO.

Para conter uma certa epidemia viral, uma vacina será aplicada a uma população. Sabe-se que:

• a efetividade de uma vacina pode ser entendida como sendo a porcentagem dos indivíduos vacinados que estarão imunes à doença; e

• para controlar a epidemia, a porcentagem mínima de uma dada população a ser imunizada é dada pela fórmula \(I(R_0) = \dfrac{100(R_0 - 1)}{R_0}\), em que \(R_0 > 1\) é um valor associado às características da epidemia.

Assume-se, ainda, que uma eventual imunização somente é adquirida por meio da vacina.

Em relação à epidemia e à vacinação, é correto afirmar que

  1. A
    a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia é sempre maior que 50%.
  2. B
    para uma vacina, quanto maior \(R_0\), menor a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia.
  3. C
    para uma vacina, quanto maior \(R_0\), maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia.
  4. D
    para um dado \(R_0\), quanto maior a efetividade da vacina, maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia.
Resolver esta questão no banco
Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa C: para uma vacina, quanto maior \(R_0\), maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia..

Resolução comentada

Ideia-chave: reescrever a fórmula para ver como \(I\) varia com \(R_0\).

  1. Separando a fração: \[I(R_0) = \frac{100(R_0 - 1)}{R_0} = 100\left(1 - \frac{1}{R_0}\right).\]
  2. Quando \(R_0\) aumenta, \(\frac{1}{R_0}\) diminui e, portanto, \(I\) aumenta. Como só a vacina imuniza, para uma mesma vacina a porcentagem a vacinar é \(\frac{I}{\text{efetividade}}\), que também cresce com \(R_0\). A alternativa C está correta.
  3. Análise das demais:
    • A: para \(1 < R_0 < 2\), \(I < 50\%\) (ex.: \(R_0 = 1{,}5\) dá \(I \approx 33\%\)). Falsa.
    • B: contraria o item 2. Falsa.
    • D: com efetividade maior, cada vacinado imuniza "mais", então é preciso vacinar uma porcentagem menor, não maior. Falsa.

Por que não as outras: a A atrai quem testa apenas valores grandes de \(R_0\); a D confunde a relação inversa entre efetividade e cobertura necessária.

Resposta: alternativa C.

Mais questões de Funções (afim e quadrática)

Ver todas as questões de Funções (afim e quadrática)