Questão 16 Unicamp 2022: Sequências (PA e PG)

Resolução comentada

Ideia-chave: o produto de potências de mesma base soma os expoentes; a soma dos expoentes é uma PA.

1. Os números são \(10^0, 10^1, \ldots, 10^{22}\): são \(n = 23\) termos.
2. Produto: \[10^0\cdot 10^1 \cdots 10^{22} = 10^{0+1+\cdots+22}.\]
3. Soma da PA dos expoentes: \[0 + 1 + \cdots + 22 = \frac{(0+22)\cdot 23}{2} = 253.\]
4. Média geométrica: \[M = \left(10^{253}\right)^{1/23} = 10^{253/23} = 10^{11}.\]
5. Observação: a média geométrica de potências de 10 é \(10\) elevado à média aritmética dos expoentes, que é \(\frac{0+22}{2} = 11\).

Por que não as outras: contar 22 termos em vez de 23 (esquecendo o \(1 = 10^0\)) dá \(10^{253/22}\), que não é inteiro e leva a "chutes" como \(10^{12}\).

Resposta: alternativa A.