ENEM 2021 · questão 136

Questão 136 ENEM 2021: Equações e inequações

Matemática › Equações e inequaçõesVestibulares

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega \(\rho\), e seu valor é dado pela solução positiva da equação \(\rho^2 = \rho + 1\).

Assim como a potência \(\rho^2\), as potências superiores de \(\rho\) podem ser expressas da forma \(a\rho + b\), em que \(a\) e \(b\) são inteiros positivos, como apresentado no quadro.

Figura da questão

A potência \(\rho^7\), escrita na forma \(a\rho + b\) (\(a\) e \(b\) são inteiros positivos), é

  1. A
    \(5\rho + 3\)
  2. B
    \(7\rho + 2\)
  3. C
    \(9\rho + 6\)
  4. D
    \(11\rho + 7\)
  5. E
    \(13\rho + 8\)
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Gabarito: Alternativa E: \(13\rho + 8\).

Resolução comentada

Ideia-chave: multiplique a potência anterior por \(\rho\) e troque \(\rho^2\) por \(\rho + 1\) a cada passo.

  1. Do quadro, \( \rho^6 = 8\rho + 5 \).
  2. Então \[ \rho^7 = \rho \cdot \rho^6 = 8\rho^2 + 5\rho \]
  3. Use \( \rho^2 = \rho + 1 \): \[ \rho^7 = 8(\rho + 1) + 5\rho = 13\rho + 8 \]
  4. Conferência pelo padrão do quadro: os coeficientes seguem a sequência de Fibonacci (\(1, 2, 3, 5, 8, 13\) para \(a\) e \(1, 1, 2, 3, 5, 8\) para \(b\)); de fato, o novo \(a\) é \(8+5\) e o novo \(b\) é o \(a\) anterior.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: \(11\rho + 7\) (D) e \(9\rho + 6\) (C) vêm de somar coeficientes de forma aritmética (passos constantes) em vez de aplicar a relação \(\rho^2 = \rho + 1\).

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