Unicamp 2025 · questão 52

Questão 52 Unicamp 2025: Equações e inequações

Matemática › Equações e inequaçõesVestibulares

Ana está treinando as habilidades matemáticas de seu irmão mais novo. Ela escolheu dois números reais \(x\), \(y\) e avisou para seu irmão que os números satisfazem às desigualdades \(|x - 2| \le 2\) e \(|y - 3| \le 1\).

O que o irmão de Ana pode concluir corretamente sobre esses números?

  1. A
    \(x^2 + y^2 \le 1\).
  2. B
    \(x + y \ge 10\).
  3. C
    \(x + y \le 8\).
  4. D
    \(x^2 + y^2 \ge 36\).
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Gabarito: Alternativa C: \(x + y \le 8\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: transformar cada módulo em um intervalo e calcular os limites de \(x + y\) e \(x^2 + y^2\).

  1. Primeira desigualdade: \[|x - 2| \le 2 \iff 0 \le x \le 4\]
  2. Segunda desigualdade: \[|y - 3| \le 1 \iff 2 \le y \le 4\]
  3. Somando os intervalos: \[2 \le x + y \le 8\] Logo, \(x + y \le 8\) vale sempre. A alternativa C está correta.
  4. Conferindo as demais:
    • A falha: \(y \ge 2\) já garante \(x^2 + y^2 \ge 4 > 1\).
    • B falha: o máximo de \(x + y\) é 8, então nunca chega a 10.
    • D falha: com \(x = 0\) e \(y = 2\), \(x^2 + y^2 = 4 < 36\). O máximo é \(16 + 16 = 32\), ainda abaixo de 36.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: a D atrai quem chuta valores extremos sem fazer a conta. Mesmo no caso máximo (\(x = y = 4\)), dá 32, que é menor que 36.

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