ENEM 2009 · questão 171

Questão 171 ENEM 2009: Probabilidade

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A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto \(\{01, 02, 03, \ldots, 59, 60\}\), custava R$ 1,50.

Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última.

Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,

  1. A
    \(1\dfrac{1}{2}\) vez menor.
  2. B
    \(2\dfrac{1}{2}\) vezes menor.
  3. C
    4 vezes menor.
  4. D
    9 vezes menor.
  5. E
    14 vezes menor.
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Gabarito: Alternativa C: 4 vezes menor..

Resolução comentada

Ideia-chave: os dois jogos custam o mesmo (uma aposta de 9 dezenas equivale a \(\binom{9}{6} = 84\) apostas simples); compare quantos sorteios dão quina em cada caso.

  1. Custo: \(126 / 1{,}50 = 84\) apostas, e \(\binom{9}{6} = 84\). Os gastos são iguais.
  2. 84 apostas simples: uma aposta de 6 dezenas faz quina quando 5 das sorteadas estão nela e 1 está fora: \[ \binom{6}{5}\binom{54}{1} = 6 \cdot 54 = 324 \text{ resultados} \] Como as apostas não têm 5 números em comum, os casos não se repetem: \(84 \cdot 324 = 27\,216\) resultados favoráveis.
  3. Uma aposta de 9 dezenas: quina quando 5 sorteadas estão entre as 9 e 1 está entre as 51 restantes: \[ \binom{9}{5}\binom{51}{1} = 126 \cdot 51 = 6\,426 \text{ resultados} \]
  4. Razão (o total de sorteios é o mesmo nos dois casos): \[ \frac{27\,216}{6\,426} \approx 4{,}2 \]

Resposta: alternativa C.

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