ENEM 2011 · questão 159

Questão 159 ENEM 2011: Equações e inequações

Matemática › Equações e inequaçõesVestibulares

O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (\(n\)), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (\(n\)) acrescido de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.

Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?

  1. A
    \(100n + 350 = 120n + 150\)
  2. B
    \(100n + 150 = 120n + 350\)
  3. C
    \(100(n + 350) = 120(n + 150)\)
  4. D
    \(100(n + 350\,000) = 120(n + 150\,000)\)
  5. E
    \(350(n + 100\,000) = 150(n + 120\,000)\)
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Gabarito: Alternativa A: \(100n + 350 = 120n + 150\).

Resolução comentada

Ideia-chave: a escolha é indiferente quando os custos totais das duas propostas são iguais.

  1. Trabalhando em milhares de reais:
  • 1ª empresa: \(C_1 = 100n + 350\) (100 mil por km mais 350 mil fixos).
  • 2ª empresa: \(C_2 = 120n + 150\) (120 mil por km mais 150 mil fixos).
  1. Indiferença: \(C_1 = C_2\): \[100n + 350 = 120n + 150.\]
  2. (Resolvendo, para conferir: \(200 = 20n \Rightarrow n = 10\) km.)

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: a B troca os valores fixos entre as empresas; C e D colocam o valor fixo dentro do parêntese, multiplicando-o pelo preço do km, o que não corresponde ao enunciado.

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