ENEM 2021 · questão 142

Questão 142 ENEM 2021: Probabilidade

Matemática › ProbabilidadeVestibulares

O organizador de uma competição de lançamento de dados pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores tem, em cada lançamento, \(\dfrac{1}{2}\) de probabilidade de acertar um dardo no alvo. A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a \(\dfrac{9}{10}\). Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

  1. A
    2
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. D
    9
  5. E
    10
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Gabarito: Alternativa B: 4.

Resolução comentada

Ideia-chave: "pontuar" é acertar pelo menos um dardo; use o complementar: \( P = 1 - (\text{errar todos}) \).

  1. Probabilidade de errar um dardo: \( 1 - \tfrac12 = \tfrac12 \). Com \(n\) dardos independentes, errar todos tem probabilidade \( \left(\tfrac12\right)^n \).
  2. Condição: \[ 1 - \left(\frac12\right)^n \ge \frac{9}{10} \;\Rightarrow\; \left(\frac12\right)^n \le \frac{1}{10} \;\Rightarrow\; 2^n \ge 10 \]
  3. Teste: \( 2^3 = 8 < 10 \) (as 3 atuais dão \( 1 - \tfrac18 = 0{,}875 \), insuficiente); \( 2^4 = 16 \ge 10 \).
  4. Com 4 dardos: \( 1 - \tfrac1{16} = 0{,}9375 \ge 0{,}9 \).

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: 6, 9 ou 10 (C, D, E) também cumprem a condição, mas não são o mínimo; 2 (A) é menos que os 3 dardos atuais.

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