ENEM 2022 · questão 146

Questão 146 ENEM 2022: Equações e inequações

Matemática › Equações e inequaçõesVestibulares

Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m.

No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.

A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será

  1. A
    10.
  2. B
    13.
  3. C
    14.
  4. D
    15.
  5. E
    16
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Gabarito: Alternativa E: 16.

Resolução comentada

Ideia-chave: montar um sistema para achar o comprimento de cada circuito e depois maximizar o total de voltas, usando ao máximo o circuito menor.

  1. Sejam \(a\) o circuito maior e \(b\) o menor: \[\begin{cases} 3a + 2b = 1800 \\ 2a + b = 1100 \end{cases}\]
  2. Da segunda equação, \(b = 1100 - 2a\). Substituindo na primeira: \(3a + 2200 - 4a = 1800 \Rightarrow a = 400\) m e \(b = 300\) m.
  3. No segundo dia, com \(x\) voltas no maior e \(y\) no menor: \[400x + 300y = 5000 \Rightarrow 4x + 3y = 50.\]
  4. Para ter o maior número de voltas, \(x\) deve ser o menor possível. Como \(50 - 4x\) precisa ser múltiplo de 3: \(x = 0\) dá \(50\), \(x = 1\) dá \(46\) (nenhum dos dois é múltiplo de 3) e \(x = 2\) dá \(42\), logo \(y = 14\).
  5. Total: \(2 + 14 = 16\) voltas.

Por que não as outras: 13 é o resultado de quem usa a maior quantidade possível de voltas no circuito maior (\(x = 11\), \(y = 2\)).

Resposta: alternativa E.

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