ENEM 2009 · questão 173

Questão 173 ENEM 2009: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com \(19\ \text{cm}\) de altura e \(6\ \text{cm}\) de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de \(1\ \text{cm}\) entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Figura da questão

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem \(1{,}5\ \text{cm}\) de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

  1. A
    \(156\ \text{cm}^3\).
  2. B
    \(189\ \text{cm}^3\).
  3. C
    \(192\ \text{cm}^3\).
  4. D
    \(216\ \text{cm}^3\).
  5. E
    \(540\ \text{cm}^3\).
Resolver esta questão no banco
Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa B: \(189\ \text{cm}^3\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: "mesmo molde" significa que os 4 blocos, juntos e sem espaçamento, formam uma pirâmide de base \(6\ \text{cm}\); basta subtrair a pirâmide do topo.

  1. Altura total da vela: \(19\ \text{cm}\), com 3 espaços de \(1\ \text{cm}\) entre os blocos. Altura somada dos blocos: \[ 19 - 3 = 16\ \text{cm} \Rightarrow \text{cada bloco tem } 4\ \text{cm} \]
  2. Os blocos encaixados formam uma pirâmide de base \(6 \times 6\) e altura \(16\): \[ V = \frac{6^2 \cdot 16}{3} = 192\ \text{cm}^3 \]
  3. Pirâmide do topo: base \(1{,}5 \times 1{,}5\) e altura \(4\): \[ V_{\text{topo}} = \frac{1{,}5^2 \cdot 4}{3} = \frac{2{,}25 \cdot 4}{3} = 3\ \text{cm}^3 \]
  4. Parafina sem o topo: \[ 192 - 3 = 189\ \text{cm}^3 \]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: 192 (C) é a vela inteira; usar a altura 19 sem descontar os espaços leva a \(\frac{36 \cdot 19}{3} = 228\), e 216 (D) é \(36 \cdot 6\), sem o fator \(\frac{1}{3}\).

Mais questões de Geometria espacial

Ver todas as questões de Geometria espacial