FUVEST 2024 · questão 31

Questão 31 FUVEST 2024: Geometria espacial

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O reservatório de um caminhão-pipa tem a forma de um cilindro circular reto com eixo horizontal e dimensões internas de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro. Uma escola contratou o serviço do caminhão-pipa para abastecer sua caixa d'água. Após o abastecimento, o motorista percebeu que o reservatório do caminhão estava cheio até \(\dfrac{3}{4}\) de sua altura, conforme ilustrado na figura.

Figura da questão

Qual foi o volume, em metros cúbicos, de água utilizada para abastecer a caixa d'água da escola, sabendo que o reservatório do caminhão estava cheio antes do abastecimento?

  1. A
    \(\left(2\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)\)
  2. B
    \(\left(2\pi - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
  3. C
    \(\left(2\pi + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
  4. D
    \(\left(4\pi + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)\)
  5. E
    \(\left(4\pi + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
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Gabarito: Alternativa B: \(\left(2\pi - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)\).

Resolução comentada

Ideia-chave: o volume retirado é a parte vazia do tanque, um segmento circular de altura \(0{,}5\) m multiplicado pelo comprimento de 6 m.

  1. O raio é \(R = 1\) m. Com o tanque cheio até \(\frac{3}{4}\) da altura de 2 m, a água chega a 1,5 m.
  2. Sobra vazia uma "calota" (segmento circular) no topo, de altura 0,5 m. Esse é o volume que saiu.
  3. A corda que limita o segmento fica a \(0{,}5\) m do centro. O semiângulo \(\theta\) satisfaz: \[\cos\theta = \frac{0{,}5}{1} \;\Rightarrow\; \theta = 60^\circ\] O ângulo central é, portanto, \(120^\circ\).
  4. Área do segmento = setor de \(120^\circ\) menos o triângulo: \[\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \operatorname{sen}120^\circ = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\]
  5. Volume retirado: \[6\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \text{m}^3\]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: a alternativa E é o volume que restou no tanque: \(6\pi - \left(2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\). Trocar o sinal do triângulo leva à C.

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