ENEM 2009 · questão 174

Questão 174 ENEM 2009: Trigonometria

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Considere um ponto \(P\) em uma circunferência de raio \(r\) no plano cartesiano. Seja \(Q\) a projeção ortogonal de \(P\) sobre o eixo \(x\), como mostra a figura, e suponha que o ponto \(P\) percorra, no sentido anti-horário, uma distância \(d \le r\) sobre a circunferência.

Figura da questão

Então, o ponto \(Q\) percorrerá, no eixo \(x\), uma distância dada por

  1. A
    \(R\left(1 - \operatorname{sen}\dfrac{d}{r}\right)\).
  2. B
    \(R\left(1 - \cos\dfrac{d}{r}\right)\).
  3. C
    \(R\left(1 - \operatorname{tg}\dfrac{d}{r}\right)\).
  4. D
    \(R\operatorname{sen}\left(\dfrac{r}{d}\right)\).
  5. E
    \(R\cos\left(\dfrac{r}{d}\right)\).
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Gabarito: Alternativa B: \(R\left(1 - \cos\dfrac{d}{r}\right)\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: um arco de comprimento \(d\) numa circunferência de raio \(r\) corresponde ao ângulo central \(\theta = \dfrac{d}{r}\) (em radianos); a abscissa de \(P\) é dada por cosseno.

  1. Na figura, \(P\) é o ponto mais à esquerda da circunferência: o raio até \(P\) é horizontal. Seja \(C = (x_C, y_C)\) o centro; então \(P\) tem abscissa \(x_C - r\).
  2. Ao percorrer o arco \(d\) no sentido anti-horário, o raio \(CP\) gira um ângulo \(\theta = \dfrac{d}{r}\). A nova abscissa de \(P\) (e de \(Q\)) é: \[ x = x_C - r\cos\theta \]
  3. Deslocamento de \(Q\) no eixo \(x\): \[ (x_C - r\cos\theta) - (x_C - r) = r\left(1 - \cos\frac{d}{r}\right) \] (nas alternativas, o raio aparece como \(R\)).

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: \(r \operatorname{sen}\frac{d}{r}\) mediria o deslocamento vertical de \(P\); as alternativas D e E invertem a razão, usando \(\frac{r}{d}\) em vez de \(\frac{d}{r}\).

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