Unicamp 2025 · questão 58

Questão 58 Unicamp 2025: Trigonometria

A poluição de rios, lagos e lagoas é um dos grandes problemas enfrentados pela sociedade moderna. Ao longo das últimas décadas, vários mecanismos têm sido utilizados para minimizar os danos causados por ela.

Uma indústria despeja numa lagoa, de forma indevida, água contaminada por um poluente a uma certa taxa. Dependendo da vazão da lagoa e da concentração do poluente, é possível verificar que a quantidade total desse contaminante na lagoa num tempo \(t\), denotada por \(Q(t)\), é dada por

\[Q(t) = 20 + 2\operatorname{sen}(t) - 4\cos(t),\]

em que \(t\) representa o tempo medido em anos e \(Q(t)\) é medido em quilos.

O gráfico que melhor representa a função \(Q(t)\), ou seja, a quantidade total do poluente na lagoa num tempo \(t\) é:

Resolver esta questão no banco

Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa A.

Resolução comentada

Ideia-chave: a combinação \(2\operatorname{sen}t - 4\cos t\) é uma senoide de amplitude \(\sqrt{2^2 + 4^2}\) e período \(2\pi\). Basta conferir o valor inicial, os extremos e o formato.

Valor inicial: \[Q(0) = 20 + 0 - 4 = 16\] Isso descarta C e D, que começam em 20.
Escrevendo \(2\operatorname{sen}t - 4\cos t = R\operatorname{sen}(t - \varphi)\), a amplitude é: \[R = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4{,}47\]
Então \(Q\) oscila entre: \[20 - 4{,}47 \approx 15{,}5 \quad\text{e}\quad 20 + 4{,}47 \approx 24{,}5\] O período é \(2\pi \approx 6{,}28\) anos.
Logo após \(t = 0\), a derivada é: \[Q'(0) = 2\cos 0 + 4\operatorname{sen}0 = 2 > 0\] Então \(Q\) começa crescendo.
O gráfico A começa em 16, sobe até \(\approx 24{,}5\) (perto de \(t \approx 2{,}7\)), desce até \(\approx 15{,}5\) (perto de \(t \approx 5{,}8\)) e se repete com regularidade.
O gráfico B também começa em 16, mas cai para perto de 4 e não é periódico com amplitude constante. Descartado.

Resposta: alternativa A.

Resolução comentada

Mais questões de Trigonometria