Unicamp 2025 · questão 50

Questão 50 Unicamp 2025: Trigonometria

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As funções trigonométricas \(\cos(x)\) e \(\operatorname{sen}(x)\) são muito estudadas no Ensino Médio. A exposição deste importante conteúdo costuma contar, nas aulas, com a apresentação de gráficos e tabelas que expõem em arcos – chamados “arcos notáveis”, como por exemplo \(\pi/3\), \(\pi/4\) e \(\pi/6\) – os valores dessas funções.

É possível, no entanto, calcular, em outros arcos, os valores destas funções, utilizando algumas identidades trigonométricas.

Considerando a relação \(\cos(x/2) = \sqrt{(1 + \cos(x))/2}\) e a identidade fundamental da trigonometria, é possível afirmar que o valor de \(\operatorname{sen}(\pi/12)\) é

  1. A
    \(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\).
  2. B
    \(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\).
  3. C
    \(\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{3}}}{2}\).
  4. D
    \(\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{3}}}{2}\).
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Gabarito: Alternativa A: \(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: usar \(\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6}\), obter o cosseno do arco metade e depois o seno pela identidade fundamental.

  1. Com \(x = \frac{\pi}{6}\), temos \(\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Então: \[\cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\]
  2. Pela identidade fundamental, \(\operatorname{sen}^2 + \cos^2 = 1\): \[\operatorname{sen}^2\frac{\pi}{12} = 1 - \frac{2 + \sqrt{3}}{4} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}\]
  3. Como \(\frac{\pi}{12}\) está no 1º quadrante, o seno é positivo: \[\operatorname{sen}\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\]

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: a alternativa B é o valor de \(\cos\frac{\pi}{12}\), e não do seno. É a armadilha para quem para no 1º passo. As alternativas C e D surgem de erros ao somar \(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\).

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