ENEM 2009 · questão 175

Questão 175 ENEM 2009: Equações e inequações

Matemática › Equações e inequaçõesVestibulares

O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), em que, \(TC = \dfrac{NV}{NF}\), \(TA = \dfrac{NA}{NV}\), \(NV\) é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, \(NF\) é o número de famílias estimadas como público alvo do CadÚnico e \(NA\) é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico.

Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).

Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando \(NF\) o IcadÚnico cairá para 0,5. Se \(NA + NV = 3\,600\), então \(NF\) é igual a

  1. A
    10.000.
  2. B
    7.500.
  3. C
    5.000.
  4. D
    4.500.
  5. E
    3.000.
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Gabarito: Alternativa C: 5.000..

Resolução comentada

Ideia-chave: montar um sistema com as duas situações; dobrar \(NF\) só altera \(TC\), o que permite isolá-lo.

  1. Situação inicial: \[ \frac{TC + TA}{2} = 0{,}6 \Rightarrow \frac{NV}{NF} + \frac{NA}{NV} = 1{,}2 \]
  2. Dobrando \(NF\), \(TC\) cai pela metade e \(TA\) não muda: \[ \frac{NV}{2NF} + \frac{NA}{NV} = 1{,}0 \]
  3. Subtraindo as equações: \[ \frac{NV}{2NF} = 0{,}2 \Rightarrow \frac{NV}{NF} = 0{,}4 \quad \text{e} \quad \frac{NA}{NV} = 0{,}8 \]
  4. Então \(NA = 0{,}8\,NV\) e: \[ NA + NV = 1{,}8\,NV = 3\,600 \Rightarrow NV = 2\,000 \]
  5. Finalmente: \[ NF = \frac{NV}{0{,}4} = \frac{2\,000}{0{,}4} = 5\,000 \]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: 10.000 (A) é o \(NF\) depois de dobrado.

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