ENEM 2011 · questão 174

Questão 174 ENEM 2011: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.

Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é

  1. A
    24
  2. B
    31
  3. C
    32
  4. D
    88
  5. E
    89
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Gabarito: Alternativa E: 89.

Resolução comentada

Ideia-chave: contar, em ordem crescente, quantos números formados por 1, 3, 5, 7, 9 (todos distintos) vêm antes de 75 913.

  1. Só há os dígitos ímpares 1, 3, 5, 7, 9, e o número tem 5 algarismos distintos: são as permutações desses 5 dígitos.
  2. Começando por 1, 3 ou 5 (menores que 7): \(3 \cdot 4! = 3 \cdot 24 = 72\) números.
  3. Começando por 7 e com 2º dígito 1 ou 3: \(2 \cdot 3! = 12\). Acumulado: \(72 + 12 = 84\).
  4. Começando por 75 e com 3º dígito 1 ou 3: \(2 \cdot 2! = 4\). Acumulado: \(84 + 4 = 88\).
  5. Começando por 759: os números são 75 913 e 75 931; o menor é 75 913.
  6. Há 88 números antes dele, então ele é o \(88 + 1 = 89^{\circ}\).

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: D (88) é a quantidade de números anteriores — esquecer de somar 1 é o erro típico.

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