ENEM 2018 · questão 150

Questão 150 ENEM 2018: Probabilidade

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Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.
Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:
• Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
• Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
• Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
• Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas.
A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:
• Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
• Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;
• Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.

Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    3.
  4. D
    4.
  5. E
    5.
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Gabarito: Alternativa E: 5..

Resolução comentada

Ideia-chave: em cada opção, \(P = \tfrac{p}{n} \cdot \tfrac{p-1}{n-1}\) (sem reposição); nas opções com transferência, use a probabilidade total, condicionando à cor da bola transferida.

  1. Opção 1 (A: 2 pretas em 6): \[ \tfrac{2}{6} \cdot \tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{15} \approx 0{,}067 \]
  2. Opção 2 (B: 3 pretas em 10): \[ \tfrac{3}{10} \cdot \tfrac{2}{9} = \tfrac{1}{15} \approx 0{,}067 \]
  3. Opção 3 (bola de C para A, com 1/2 de chance de ser preta): \[ \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{7} \cdot \tfrac{2}{6} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{7} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{21} \approx 0{,}095 \]
  4. Opção 4 (bola de D para C): \[ \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{2}{4} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{5} = 0{,}20 \]
  5. Opção 5 (bola de C para D): \[ \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{7} \cdot \tfrac{3}{6} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{7} \cdot \tfrac{2}{6} = \tfrac{3}{14} \approx 0{,}214 \]
  6. A maior probabilidade é a da opção 5.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: a opção 4 (D) é a maior armadilha, com 0,20; quem considera só o caso favorável da transferência (bola preta) acha 0,30 para ela e erra.

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