ENEM 2018 · questão 151

Questão 151 ENEM 2018: Geometria plana

Matemática › Geometria planaVestibulares

A Ecofont possui design baseado na velha fonte Vera Sans. Porém, ela tem um diferencial: pequenos buraquinhos circulares congruentes, e em todo o seu corpo, presentes em cada símbolo. Esses furos proporcionam um gasto de tinta menor na hora da impressão.

Figura da questão

Suponha que a palavra ECO esteja escrita nessa fonte, com tamanho 192, e que seja composta por letras formadas por quadrados de lados x com furos circulares de raio Figura da questão Para que a área a ser pintada seja reduzida a Figura da questão da área inicial, pretende-se reduzir o tamanho da fonte. Sabe-se que, ao alterar o tamanho da fonte, o tamanho da letra é alterado na mesma proporção.

Nessas condições, o tamanho adequado da fonte será

  1. A
    64.
  2. B
    48.
  3. C
    24.
  4. D
    21.
  5. E
    12.
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Gabarito: Alternativa B: 48..

Resolução comentada

Ideia-chave: em figuras semelhantes, a área varia com o quadrado da razão linear; como furos e quadrados mudam na mesma proporção, a área pintada também segue essa regra.

  1. Cada quadrado de lado \(x\) com furo de raio \(r = \tfrac{x}{3}\) tem área pintada: \[ x^2 - \pi\left(\frac{x}{3}\right)^2 = x^2\left(1 - \frac{\pi}{9}\right) \] que é proporcional a \(x^2\).
  2. Para que a área fique igual a \(\tfrac{1}{16}\) da inicial, a razão linear \(k\) deve satisfazer: \[ k^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow k = \frac{1}{4} \]
  3. O tamanho da fonte muda na mesma proporção que a letra: \[ 192 \cdot \frac{1}{4} = 48 \]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: dividir 192 por 16 (E, tamanho 12) aplica a razão de áreas como se fosse linear; 64 (A) divide por 3, confundindo com a razão \(\tfrac{r}{x}\).

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