ENEM 2018 · questão 154

Questão 154 ENEM 2018: Probabilidade

Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão \(n \times n\), com no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão \(8 \times 8\).

Figura da questão

O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a

A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é

A
\(4 \times 4\).
B
\(6 \times 6\).
C
\(9 \times 9\).
D
\(10 \times 10\).
E
\(11 \times 11\).

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Gabarito: Alternativa D: \(10 \times 10\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: probabilidade = casas da zona de combate ÷ casas ainda vazias; depois resolver a inequação em \(n\).

Após a primeira peça, sobram \(n^2 - 1\) casas vazias (casos possíveis).
A zona de combate tem \(n - 1\) casas na linha e \(n - 1\) na coluna da peça: \(2(n-1)\) casas (casos favoráveis).
Probabilidade: \[ P = \frac{2(n-1)}{n^2-1} = \frac{2(n-1)}{(n-1)(n+1)} = \frac{2}{n+1}. \]
Condição do enunciado: \[ \frac{2}{n+1} < \frac{1}{5} \Rightarrow n + 1 > 10 \Rightarrow n > 9. \]
O menor inteiro é \(n = 10\). Conferindo: \(n = 9\) dá \(P = \tfrac{2}{10} = \tfrac{1}{5}\), que não é inferior; \(n = 10\) dá \(P = \tfrac{2}{11} < \tfrac{1}{5}\).

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: \(9 \times 9\) é a armadilha de usar “\(\leq\)” em vez de “\(<\)”; contar \(n^2\) casas no denominador (esquecendo a casa ocupada) também desvia a conta.

Resolução comentada

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